機 率 中 賭 博 輸 光 問 題 的 分 析

問題 : 甲乙二人進行一次一元，不輸光不停止的賭博，甲原有 m 元本錢，乙原有 n 元本錢，甲贏一次的機率為 p ，乙贏一次的機率為 q，問甲將乙贏光的機率為多少?

  這個問題使筆者想起二十多年前數學傳播中的一個“醉漢回家”問題，題目是一個醉漢喝得不知方向，向前走一步的機率為  p ，後退一步的機率當然就是 1- p ，醉漢距離家有 n 步，但後方 m 步有懸崖，則醉漢摔死的機率為多少?

這個機率問題並不簡單，它不能以一般機率方法(分路徑討論)來求機率，因為路徑有無限多種，所以必須用另外的方法解決

考慮路徑 a 到 b ，x 為介於 a 到 b  之間的整數

 設 表示目前在 點而到達 b 的機率(讓乙輸光光)

  我們還知道    (甲先輸光，那贏光乙的機率=0)

                          (已經讓乙輸光了，那贏光乙的機率=1)

                      (下一步只有這兩條路，不是輸就是贏)

那麼

                                                         :

                                                         :

為了方便，我令  

                                  得   

   現在列出下列式子在相加

                                                         :

                                                         :

                       +       

 __________________________________________________________　

                        又因    

                     則    

我們求出了

這個公式套用至前面的問題

     故問題的答案為   

  以圖形表示(縱軸表示贏光乙的機率,橫軸表目前甲的本錢)

藍線代表 p = 0.6 紅線代表 p 接近0.5 黑線代表 p = 0.4 三線交會處的 x 座標為m+n