的求法

以上題目中的無窮級數,我們在高中時期,稱之為 p 級數,我們知道 p 級數的收斂性質:當 p 大於 1時級數收斂,否之則發散。但是我們雖然知道級數收斂,那麼收斂到哪個數呢?在此,我們將 p 級數稱為   函數 (念 zeta function),如發散 ,這是本文要討論的課題

考慮函數的根, 其根為, 我們可得到一個重要的展開式

                          

             

   也就是說    , 兩邊取對數

    

展開式1:    

展開式2:   

左:

右:

比較左與右兩者係數

       

   

其餘的大家自行推算

註:(1)從這個等式可發現無限個有理數的和,可能變成無理數

        (2)   函數中偶次方的總和均可由上述等式求出

        (3) 至於  函數中奇次方雖然知道為收斂,至今無法求出解析解,甚至是有理數還是無理數至今都尚未知悉。