的求法
以上題目中的無窮級數,我們在高中時期,稱之為 p
級數,我們知道 p 級數的收斂性質:當 p 大於
1時級數收斂,否之則發散。但是我們雖然知道級數收斂,那麼收斂到哪個數呢?在此,我們將 p 級數稱為
函數 (念 zeta function),如
發散
,
這是本文要討論的課題
考慮函數的根,
其根為
, 我們可得到一個重要的展開式
也就是說
,
兩邊取對數
展開式1:
展開式2:
左:
右:
比較左與右兩者係數
其餘的大家自行推算
註:(1)從這個等式可發現無限個有理數的和,可能變成無理數
(2)
函數中偶次方的總和均可由上述等式求出
(3) 至於
函數中奇次方,
雖然知道為收斂,至今無法求出解析解,甚至是有理數還是無理數至今都尚未知悉。